먼저 두 집합 사이에서 함수를 정의하고 이로부터 우리는 그래프를 얻는다. 평면상에서의 그래프를 곡선, 공간상에서의 그래프를 곡면이라이고 한다. 함수 위에 극한 개념을 도입하여 연속 함수를 정의하고 연속 함수에 의해서 생성된 곡선위에 점에서 미분을 정의하는데 이는 곡선위에 그 점에 접하는 직선의 기울기를 의미한다. 함수가 어떤 점에서 미분가능하면 그 점에서 반드시 연속이다. 따라서 연속함수는 미분이 정의되는 토양이 된다. 미분은 변화율인데 예를 들면 거리의 변화율이 속도이고, 속도의 변화율이 가속도이다. 이 미분은 뉴톤과 라이프니츠로부터 유래되었다.

이 미분을 이용하여 우리는 근사값을 구하고, 오차를 구하고, 또한 함수의 그래프를 평면위에 효과적으로 그릴 수 있다. 그리고 이 외 물리, 생물, 확률, 여러 분야에 이용된다. 또한 극한의 개념을 이용하여 함수의 그래프 위에 적분(부정적분, 정적분)을 정의하는데 특히 양 함수에 의해 주어진 곡선의 정적분은 곡선에 의해 생성된 영역의 넓이를 의미한다. 또한 이외에도 물리 분야에서 질량중심, 모멘트, 관성모멘트를 구하는데 이용되고, 확률통계 분야 등에서 이용된다. 적분에는 단적분, 중적분, 삼중적분 등이 있다. 중요한 점은 미분과 적분은 밀접한 관계를 가지는 데 우리는 이를 미분적분학의 기본 정리라 부른다. 이러한 이유들로 우리는 여러 함수들의 미분, 적분 기술을 배워야 한다. 함수들 중에서 주로 일변수, 이변수 함수를 다루고, 아울러 무한의 개념 (예를 들면 급수) 그리고 방향과 크기를 가진 벡터를 도입하여 선적분을 정의하여 일을 계산하고, 면적분을 정의하여 유량을 계산한다. 이들 선적분, 면적분은 앞에서 언급한 정적분과 밀접한 관계를 가지는 데 우리는 이를 그린정리, 스토크스 정리, 발산 정리라 부른다.