수리물리학 1

한양대학교
신상진

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주제분류

자연과학 >수학ㆍ물리ㆍ천문ㆍ지리 >물리학
강의학기

2012년 1학기

조회수

50,700
평점

4.7/5.0 (7)

물리학을 위해 필요한 수학을 강의한다. 벡터해석, 선형대수, 변분법, 복소변수등을 공부한다.

차시별 강의

1.	Vector analysis 1	벡터공간과 벡터장을 설명하고 내적으로 통해 길이를 정의하여 내적을 불변케하는 일차변환을 회전이라 정의한다. 회전변환에 의해 벡터를 정의한다.
	Vector analysis 2	회전 벡터의 개념을 복습 한뒤 벡터의 외적과 삼중곱을 정의하고 레비치비타 텐서를 소개한다.
2.	벡터장의 미분, 그래디언트, 발산과 컬	스칼라의 그래디언터와 벡터의 발산및 컬을 정의하고 물리적 의미를 적분에 의해 파악한다.
	벡터장의 적분, 가우스와 스톡스 정리	벡터장의 적분을 도입하고 가우스와 스톡스의 정리를 증명한다.
3.	스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜	보존장, 컬프리, 스칼라퍼텐셜의 존재 3가지 조건의 동일성을 강의하고 중력과 정전기장이 보존장임을 설명한다. 발산이 없는 벡터는 벡터퍼텐셜의 컬로 씌어 질수 있음을 증명하고 막스웰 방정식들을 스칼라및 벡터퍼텐셜로 다시 쓰는 법을 배운다.
	디랙 델타함수와 헬름홀츠의 정리	쿨릉장의 발산이 디랙의 델타함수로 씌어짐을 증명하고 1/r 함수의 라플라시안이 디랙의 델타함수임을 보인다. 이를 사용하여 컬과 발산이 주어진 벡터장은 유일하게 결정된다는 헬름홀츠의 정리를 증명한다.
4.	일반 곡선좌표계에서의 벡터장의 미분	발산과 컬의 적분표현을 활용하여 일반 곡선좌표계에서의 벡터장의 미분을 계산하는 공식을 유도한다.
	원통및 구좌표계에서의 벡터장의 미분	전일 강의의 응용으로서 구체적인 좌표계를 택하여 벡터장의 발산과 회전을 계산하는 예를 보여준다.
5.	텐서해석의 개념	랭크, 공변성, contraction, pseudo vector, quotient rule, dual tensor등 텐서의 기본 개념들을 강의한다.
	메트릭과 공변미분	메트릭을 도입하여 평행이동, 측지선등의 기하학적 개념들을 강의하고 크리스토플 심벌의 정의와 계산법, 라플라시안의 일반좌표계에서의 표현등을 강의한다.
6.	평행이동과 측지선, 비직교 곡선좌표계에서의 벡터장의 미분	일반 곡선좌표계에서의 발산과 라플라시안을 논의하고 이전 직교 곡선좌표계에서의 결과와 비교한다. 또 평행이동, 측지선등의 기하학적 개념들을 강의한다.
	법정 공휴일(총선거)
7.	중간고사
8.	변분법과 라그랑지안	뉴턴방정식의 또다른 정식화로서 변분이론을 도입하고 여러 경우로 확장한뒤 이의 응용으로서 장론과 구속조건이 있는 문제를 다룬다.
	변분이론과 측지선. 최소시간곡선. 최소면적 곡면	변분이론의 응용으로서 측지선, 최소시간곡선, 최소면적 곡면등을 다룬다.
9.	행열식과 역행열	다원 1차 연립방정식의 해법을 통해 역행열을 듀얼 베이시스를 통해 도입하고 행열식과 라플라스전개 마이너와 코팩터등을 설명한다. 이어서 가우스의 소거법과 그램과 쉬미트의 정규화 과정을 설명한다.
	듀얼 공간과 직교 행열	벡터공간과 듀얼 공간을 설명하고 리츠의 정리를 통해 그의 동등성을 이해시킨다. 행열의 곱과, 곱의 행열식은 행열식의 곱과 같음을 증명한다. 이어서 직교행열과 헤르밑 행열, 유니터리 행열등을 도입하고 오일러의 각들과 파울리 및 디랙의 행열등을 도입한다.
10.	직교행열 및 여러가지 행열	벡터의 길이가 회전 변환에 대해 불변이라는 사실로 부터 회전을 기술하는 행열이 직교행열임을 증명하고 에르밑 행열 유니터리 행열 등의 개념을 도입한다. 또 파울리와 디랙의 행열에 대해 간단히 언급한다.
	행열의 고유값과 대각화	먼저 전시간의 복습으로 디랙의 방정식을 유도한다. 이어서 교유값 방정식 을 세워 풀고 이로부터 고유벡터를 구한뒤 정규화된 고유벡터들을 행들로 하는 행열을 구성하면 이의 의사변환 (similarity transformation) 이 행열을 대각화한다는 것을 증명한다.
11.	노말 행열과 노말 모드	노말 행열일 조건이 대각화가능성을 보장해 준다는 것을 증명하고 대각화에 대한 예로서 연결된 진동자의 노말 모드 계산을 수행한다.
	복소수함수와 코시-리만 조건	복소수의 극좌표표시와 오일러 공식을 증명하고 복소 함수의 예들을 든다. 코시-리만 조건이 복소 해석함수이기 위한 필요충분함을 증명한다.
12.	코시의 적분 정리와 그 응용	코시리만 조건을 사용하여 해석함수의 폐경로적분이 0임을 보이고 함수값의 코시적분형식으로 표현하고 테일러 급수를 유도한다. 마지막으로 코시의 부등식을 증명한다.
	리우빌의 정리와 함수의 사상	코시부등식으로부터 리우빌의 정리를 유도하고 이의 응용으로써 대수학의 기본정리와 포울 전개및 함수의 무한 곱표현 등을 유도한다. 기본함수들에 대해 이들의 등각 사상으로서의 성질을 조사한다.
13.	레지듀와 정적분	코시정리을 이용한 정적분의 계산 법을 강의한다. 레지듀 적분이라 불리는 매우 중요한 응용이다. 특수한 경우로 적분 경로상에 특이점이 놓여져 있을떄의 세가지 다른 처리에 따른 결과를 강의한다.
	적분경로상의 특이점, 분산관계	적분경로에 있는 포울이 있을 경우 경로를 포울의 위나 아래로 변경시키거나 위아래의 평균을 취하거나 해야하는데 이는 물리적 경계조건을 주는 것과 동등하다. 이어서 분산관계에 관해 이야기하고 해석적 조건이 인과율과 연관되어있음을 강의한다.
14.	최대경사법	최대경사법을 사용한 점근 전개를 강의한다.
15.	기말고사